Wellcome To My Blog: Bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan ini ada tak terhingga banyaknya. Sedangkan kebalikannya adalah bilangan komposit, yaitu bilangan yang mempunyai lebih dari dua faktor.

Sebagai contoh, 3 adalah bilangan prima, karena hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan 3. 31 juga prima, karena hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan 31. Sedangkan 8 bukan merupakan bilangan prima, tetapi komposit, karena 8 mempunyai lebih dari dua faktor, yaitu 1, 2, 4, dan 8.

1 juga bukanlah merupakan prima, karena hanya mempunyai satu faktor, yaitu hanya 1.

Dan 100 bilangan prima pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Perlu diingat bahwa 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang genap.

Salah satu cara untuk menguji apakah suatubilangan merupakan prima adalah dengan menggunakan Topik Erathosthenes, yaitu suatu bilangan merupakan bilangan prima jika bilangan tersebut tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima yang lebih kecil dari atau sama dengan akar dari nilai tersebut.

Sebagai contoh, apakah 91 merupakan prima? Cara mengujinya adalah dengan membagi 91 dengan semua bilangan prima yang lebih kecil dari atau sama dengan $\sqrt{2}$ , yaitu 2, 3, 5, 7, 9. Ternyata 91 habis dibagi 7. Maka, 91 bukan merupakan bilangan prima.

Contoh Soal Bilangan Prima

Soal 1:

Misalkan $m$ dan $n$ adalah dua bilangan asli yang memenuhi $m^2 - 2003 = n^2$ . Berapakah $mn$ ? (Soal OSP Matematika SMA tahun 2003)

Jawaban:

Kelihatannya soal ini sangat susah, di mana kita harus mencari dan mencoba-coba nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi. Tetapi perhatikan bahwa 2003 merupakan bilangan prima, karena hanya mempunyai 2 faktor.
Sehingga, bentuk persamaan tersebut dapat kita ubah menjadi $m^2 - n^2 = 2003$
Kemudian, $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n) = 2003$

Karena $m + n$ lebih besar dari $(m - n$ , dan 2003 hanya mempunyai dua faktor, maka kita dapat memperoleh nilai $m + n = 2003$ dan $m - n = 1$ . Sehingga kita mendapatkan nilai $m = 1003$ dan $n = 1002$ , dan nilai dari $mn = 1003 . 1002 = 1005006$

Soal 2:

Tentukan semua bilangan prima $n$ sehinggan $3n - 4, 4n -5, dan 5n - 3$ semuanya merupakan bilangan prima.

Jawaban:

Sama dengan soal 1, kita tidak perlu mencari satu-satu nilai $n$ yang memenuhi syarat tersebut.

Sekarang coba kita jumlahkan ketiga bilangan tersebut, yaitu $3n - 4 + 4n - 5 + 5n - 3 = 12n - 12 = 2(6n - 6)$ .

Karena jumlah ketiga bilangan tersebut genap, maka salah satu dari ketiga bilangan itu pasti genap. Karena 2 merupakan satu-satunya bilangan prima yang genap, maka salah satu dari ketiga bilangan tersebut sama dengan 2, di mana yang memenuhi hanya $3n - 4 = 2$ , sehingga $n$ yang memenuhi hanya $n = 2$ .

Soal Latihan:

Bilangan ganjil 4-angka terbesar yang hasil penjumlahan semua angkanya bilangan prima adalah …. (Soal OSP SMA 2007)
Nilai dari $\sum_{k=1}^{2009}FPB(k,7) =$ …. (Soal OSK SMA 2009)
Diketahui $p$ adalah bilangan prima sehingga persamaan $7p = 8x^2 - 1$ dan $p^2 = 2y^2 - 1$ mempunyai solusi $x$ dan $y$ berupa bilangan bulat. Tentukan semua nilai $p$ yang memenuhi. (Soal OSP SMA 2007 bagian essay)